1. Да, нужно. Однако заработная плата работника в таком случае должна быть не ниже минимального размера оплаты труда, исчисленного пропорционально отработанному времени.

2. Нет, не нужно, поскольку нормами действующего законодательства такая обязанность для работодателя не установлена.

Правовое обоснование:

В соответствии с ч. 3 ст. 133 ТК РФ месячная заработная плата работника, полностью отработавшего за этот период норму рабочего времени и выполнившего нормы труда (трудовые обязанности), не может быть ниже минимального размера оплаты труда.

Согласно ч. 4 ст. 93 ТК РФ при работе на условиях неполного рабочего времени оплата труда работника производится пропорционально отработанному им времени или в зависимости от выполненного им объема работ.

Информационный портал Роструда «Онлайнинспекция.РФ», май 2018 г.